摘要：针对Newton—Raphson迭代法存在难以实现轧制力和轧制功率负荷分配模式在线应用的缺陷，提出了一种变步长数值转换方法。模拟计算结果表明，该方法可满足计算要求，能实现上述2种负荷分配模式的在线应用。

关键词：负荷分配；带钢热连轧；过程控制；Newton—Raphson迭代法；变步长数值转换法

1  前言

负荷分配是影响热连轧产品质量的关键技术，因此对其进行了大量研究，常见方法有经验法、能耗曲线法、Newton-Raphson法、单目标和多目标优化法，及协同人工智能分配方法。

国内某1780mm热轧厂过程控制系统包含3种负荷分配模式：压下量模式、轧制力模式和功率模式。在轧制力和功率模式下，采用Newton-Raphson法求解，但由于其存在一定缺陷，在线计算性能较差，因此目前实际在线应用的只有压下量负荷分配模式。本文简要介绍了Newton-Raphson法，指出了其求解缺陷，进而提出了变步长数值转换法用于热连轧机组的负荷分配，使轧制力和功率两种负荷分配模式的在线应用成为可能。

2   Newton-Raphson法及其求解缺陷

2．1  非线性方程组的构成

    对于热连轧机组，目标负荷分配比与各机架负荷(轧制力或电机功率)满足下式：

式中，P_i为第i机架负荷(轧制力或轧制功率)；a_i为第i机架目标负荷分配比；n为精轧机组机架数目。

    在线计算时，通常要综合考虑层别表中该规格产品所对应的标准负荷分配比和操作工的干预量来确定目标负荷分配比a_i：

    第i机架的负荷P_i是轧辊转速N_i、温度T_i、板厚h_i－1和h_i的函数。轧辊转速N_i是由该机架轧件出口速度和h_i按秒流量相等原则并考虑前滑影响求得的，并且温度模型中的温度T_i是由上游机架的板厚h₀一h_i，分布曲线得出的。因此，可以把式(1)写成如下非线性方程组的形式：

  式(3)中包含n一1个方程，h₀和h_n分别为中间坯厚度和成品厚度，是已知值。因此式(3)中未知量也是n一1个，方程数与未知量数相等，所以可求出精轧机组各机架的出口厚度h_i。

2．2 Newton-Raphson法求解非线性方程组

    为了便于分析，把方程组(3)写成向量形式：

    F(h)=0      (4)

式中，h=(h₁，h₂，…，h_n一1)^T，F(h)=(f₁(h)，f₂(h)，…，f_n－1(h)^T。在某个近似解hk矗处，将向量函数F(h)作Taylor展开，则有：

    F(h)≈F(h^k)+F’(h^k)(h一h^k)    (5)

从而得方程(4)的近似方程：

    F(h^k)+F’(h^k)(h一h^k)=0       (6)

引入向量记号δh^k=h一h^k，则式(6)可化为：

    F’(h^k)δh^k=一F(h^k)           (7)

将式(7)写成矩阵形式：

    解上述矩阵，可求得各机架的板厚修正量△h_i，然后按式(9)求得各机架新的出口厚度。

 h^k+1=h^k+δh^k                     (9)

式中，h^k+1为k+1次迭代计算后各机架出口带钢厚度向量；δh^k为各机架出口带钢厚度修正量向量。

2．3   Newton-Rapshon法求解缺陷

  Newton-Ratphson法对初始值要求严格，要求迭代函数在包含初始值及目标值的空间内为自身的压缩映射。通过跟踪迭代计算过程，发现主要存在2种情况导致算法发散，一是迭代过程中的某步厚度修正量过大，导致下游机架出口厚度大于上游机架出口厚度；二是迭代过程中某步F’(h^k)奇异或近似奇异，Newton-Raphson法无法求出厚度修正量。

3  变步长数值转化方法

3．1算法的推导

    为了实现轧制力和功率2种负荷分配模式的在线应用，提出了一种新的求解方法，即变步长数值转化法。首先对式(1)作等价变换得到式(10)：

    下面在理论上对上述方法的合理性加以分析。轧机的负荷(轧制力或电机功率)与该机架的人口厚度成正比，与该机架的出口厚度成反比。首先，假设经第是次迭代计算后(未达到目标负荷分配比)：

P^k_i+1 相对减小,从而Ψ_i(h^k_i-1, h^k_i, h^k_i+1)向等于或大于0的方向发展.

        综合上述分析,可看出在调和系数k选取适当的条件下,经过迭代计算,Ψ_i(h^k_i-1, h^k_i, h^k_i+1)→0,即逐步向目标负荷分配比趋近.

3.2  厚度分布异常处理

    为避免在迭代计算过程中可能出现的因厚度修正量过大从而导致下游机架带钢厚度大于上游机架带钢厚度的情形，每次厚度修正后都应对带钢厚度分布的合理性进行判断：

       当厚度修正后新的厚度分布不能满足判剧要求时,厚度分布异常,按式(4)减小步长,直到满足式(13)要求为止.

3.3初始值的确定

    变步长数值转换法对初始厚度分布无严格要求,为此可按总压下率在各机架的平均分配来确定迭代计算的初始厚度分布向量h⁰=(h⁰₁,h⁰₂,....h⁰_n-1)^T:

式中,h⁰_i为精轧各机架出口初始厚度,mm;h_n为终轧目标厚度,mm;h₀为精轧机组入口来料厚度,mm,;n为精轧机组机架数目.

3.4收剑判据

       在确定各机架出口厚度向量h^k+1后,计算各机架负荷P^k+1_i,然后按式(16)计算精轧机组各机架实际负荷分配比:

4   离线模拟计算及结果分析

在MS Windows XP环境下，采用MS VisualC+ +6．0语言，开发了带钢热连轧负荷分配计算软件。本文以SPCC为例进行了计算分析，成品规格为3．5mm×1280mm，中间坯规格47．0mm×1280mm，终轧温度870℃，穿带速度9．1m／s，采用轧制力负荷分配模式。精轧F₁～F₇机架轧制力目标负荷分配比为：20％、19％、17％、15％、13％、10％和6％，设备参数如表1所示。

   Newton—Rapl71_soil算法与变步长数值转换法迭代计算过程中精轧各机架出口轧件厚度(热尺寸)曲线分别见图1。

    Newton—RaphSon法在一次迭代计算后，第6机架因调整幅度过大，导致了第6机架出口厚度(3．43mm)小于第7机架出口厚度(3．54mm)，厚度分布异常，无法继续迭代下去；而变步长数值转换法经过4次迭代计算后就达到了目标轧制力负荷分配比要求。

5结论

    (1)传统的带钢热连轧负荷分配方法New—ton—Raphson法存在一些求解缺陷，在一定程度上削弱了其在线计算能力；

    (2)本文提出了变步长数值转换法，离线模拟计算分析表明：变步长数值转换法与Newton—Rapson法相比，对初始值要求宽松，具有良好的在线应用前景。

                                                                                                   (东北大学轧制技术及连轧自动化国家重点实验室   )