一类卷积积分的图形解析法

赵江稳 1， 樊俊华 2

（1.山西工程职业技术学院， 山西 太原 030009；2.太原财政金融学校， 山西 太原 030002）

摘 要：卷积积分是一种线性运算，在概率理论、自动控制、信号处理、系统分析中有广泛的应用。提出了一类可以通过图形、并辅之以解析的卷积积分计算方法，简单明了，实用快速。

关键词：卷积积分 图形解析 方法

1卷积积分的含义

卷积积分是一种数学运算方法［1］。设 f1（t）和f2（t）具有相同的自变量t，将f1（t）和f2（t）经以下的积分运算可以得到第三个相同变量的g（t），即:

2一类新型卷积积分的图形解析法

对于卷积积分的运算，一般说来直接套用定义即可得到。但是由于被积函数中含有参数 t，同时对于一些复杂、抽象的卷积积分特别是分段函数来说，运算过程极其麻烦，稍不注意就会出错。而使用下面提出的的方法来求此类函数的卷积积分则相对容易。

举一个例子来说明其求解过程。例：函数f1（t）和f2（t）的图像见图 1 和图 2，求 g（t）=f1（t）*f2（t）.解：首先将两个函数的分段表达式列写

作图见图 3，本例中 t 为横轴而 τ 为纵轴（即竖直切割）；也可以使τ为横轴而t为纵轴（即水平切割）。

显然，在图 3 中，仅在阴影部分被积函数不为0，而在其余区域均为 0。这样就可以分段积分。在2≤t≤5的时段内，积分的下上限为：［2，t］；在 5≤t≤6的时段内，积分的下上限为：［2，5］；在 6≤t≤9的时段内，积分的下上限为：［t- 4，5］；其余时间内因为被积表达式为 0，积分结果为 0。综合上述，g（t）的表达式可以列写如下：

g（t）的图形见图 4。

3总结

可以看到，使用此种方法，其实质是借用了数学重积分中的沿数轴切割的思想，有效解决了卷积积分中平移区间的复杂性，对于分段函数的卷积积分的手工计算特别方便。

另外此方法还可以应用到概率与统计的概率分布、自动控制、信号处理、系统分析等的计算中。

参考文献

［1］ 王宝祥.信号与系统（第 3 版）［M］.北京：电子工业出版社出版,2010.

［2］ 江辑光.电路原理（下）［M］.北京：清华大学出版社，2007.