摘  要：针对中厚板热轧过程中速度场的特点设定了速度场函数，利用Markov变分原理求解场函数中的待定常数。将该模型应用于板材热轧综合解析数值模型，使得综合解析数值模型更加合理。同时，基于欧拉坐标系建立了应变速率和应变的数值解法，从而解决了多道次轧制过程变形场连续计算问题。计算结果表明，该模型能较好地反映轧制变形区的变形情况，计算得到的轧制力与实测值吻合较好。

关键词：中厚板；热轧；应变；速度场；轧制力

1  前言

    如何计算轧制过程的力能参数以及提高板材的力学性能，一直是中厚板轧制理论的重要问题。传统轧制理论认为厚向变形为均匀变形，并且将流动应力设定为常数，没有考虑实际轧制过程中各种因素对流动应力的影响，因此无法与实际的生产过程相符合，也很难获得能够反映温度变化和加工硬化影响的轧制力计算结果。

    有限元法作为一种强有力的数值分析工具，虽然能够全面揭示塑性变形过程中轧件内应力、应变以及温度的分布规律，但是利用有限元法对多道次板材热轧过程的分析，不仅需要有复杂三维网格重划分技术的支持，而且由于迭代次数过多会造成累计误差，甚至会导致分析结果失真；同时，计算时间长、效率低且各道次之间数值传递困难等不足也限制了有限元法在多道次热轧中的应用。综合解析数值模型虽然计算时间较短且实现了温度和变形等参数在多个过程和多个道次之间的连续传递，但是由于其对变形区的假设过于刚性，并不能符合所有的轧制规程，从而导致部分道次计算误差较大。

    本文根据实验结果，假设出带有待定常数的变形区速度模型，通过理想刚塑性材料的第一变分原理——Markov变分原理求解待定常数，使计算精度不再受轧制规程的限制。

2   模型的建立

    实验研究结果表明，由于轧件表面接触摩擦力的作用，轧件沿厚度方向上的变形是不均匀的。采用空间坐标描述(欧拉描述)时，在同一时刻，不同区域金属水平流动速度ν_x沿变形区长度和横截面高度的分布如图1所示。在后滑区内，作用在轧件上的摩擦力方向与金属流动方向一致，金属受到摩擦力的作用流入辊缝。由于表层金属受摩擦力的作用较大，故在后滑区内表层金属的流动速度比中层金属的流动速度大，水平速度的分布沿断面高度呈中凹状。在前滑区内，作用在轧件上的摩擦力方向与金属流动方向相反，因此摩擦力的作用阻碍金属流出辊缝。同样，表层金属由于受摩擦力的作用大于中层金属，故导致流动速度小于中层金属的流动速度，因此，水平速度分布图呈中凸状。另外，在轧件中性面上的金属流动速度可认为沿断面高度均匀分布。这样，在空间坐标架构下研究轧件的稳态变形时，轧件水平流动速度ν_x 存在3个沿厚度均匀分布的断面，即在变形区的端部x=l+△l₁和x= 一△l₂  (△l₁、和△l₂。分别为咬入点和出El点到刚性端的距离)。以及中性面处(x=x_n)。

     另外，将板带轧制变形简化为平面应变问题，并忽略轧制过程中的弹性变形，根据塑性变形过程中体积不可压缩的原理，可得：

    (1)单位时间内通过变形区内任一横截面的金属流量为常数，即

2．1后滑区金属流动模型

根据上述分析，在后滑区内，金属水平流动速度沿厚度方向的分布为中凹曲线，设：

由于忽略了轧件的弹性变形，即将轧件材料看作刚塑性材料，因此，对于待定常数A₁，的求解，可利用理想刚塑性材料的第一变分原理－一Markov变分原理：在满足体积不变和位移边界条件的一切动可容速度场“μ_i^*中，使泛函取最小值的“u_i必为问题的真实解。

2．2  前滑区金属流动模型

在前滑区内，水平流动速度沿厚度方向分布为中凸曲线。仿照后滑区分析方法，可以得到前滑区的速度分布式为：

A₂为待定常数，求解方法同后滑区A₁的求解。

2．3应变的求解

    基于速度场，根据

       由于轧制变形区是不规则的，为了求解应变分量和等效应变，采用差分方法，首先将变形区映射为长方形，如图2所示。

    设长方形中的点A’是变形域内A点的映射点，由此可以建立二者之间的映射关系：

    将长方形区域离散为差分网格，设沿x向和y向的步长分别为b₁和b₂，对于域内任一点(i，j)，采用前差分格式，得到应变εx的递推解：

3   温度与轧制力解析模型

热轧过程中，除轧件边部外，沿轧件厚度方向会形成远大于轧件宽度和长度方向的温度梯度。因而轧件的温度场主要取决于厚度方向的传热，而沿长度和宽度方向上的传热可忽略。采用物质坐标描述(拉格朗日描述)时，如图1所示，某材料单元在t₁，时刻位于人口辊缝外A处，通过上下表面与周围介质产生热交换；在t₂时刻，该材料单元进入到辊缝内B处，其上下表面与轧辊发生热交换。将该单元体作为研究对象，当坐标原点取在轧件的厚度中心时，温度场微分方程可简化为一维模型：

    文献利用分离变量法给出了上述温度场的解析解，并建立了相邻过程之间函数系数的转换关系，从而实现了温度在多种过程和多个道次之间的传递计算。

    由于板材轧制变形可简化为平面应变问题，因此根OrOWan平衡微分方程，结合粗燥倾斜平板间压缩金属楔的Nadai应力分布理论，可以得到平板轧制力方程为：

式中，w为回归得到的摩擦系数影响结果，w =1+0．024m一O．1995m²；k为金属剪切流动应力；m为剪切摩擦系数；p_x和h_x分别为x位置的单位轧制力和轧件高度。

    对式(14)和式(15)通过数值积分，便可得到轧制力沿接触弧长的分布情况。

4   应用实例及分析

    应用以上模型对某钢厂中厚板可逆式热轧过程进行模拟计算，轧件材质为Q235A，流动应力模型为：

式中，A、m、n、Q均为由实验数据线性回归得到的常数，取A = 8MPa，m = O．18，n = 0．1，Q = 32000J／mol；R为气体常数。

    坯料尺寸为300mm×1900 mm×4532mm，成品尺寸为79.36mm×3485mm×9249mm,初始温度为1200℃,轧辊直径为1180mm,轧制规程如表1所示。

    由于轧制过程是对称的，因此取厚度方向的一半作为研究对象。计算得到变形区的水平速度等值线如图3所示。在轧件人口处，受表面摩擦力的影响，表面金属的水平流动速度大于芯部金属；随着轧制的进行，水平速度逐渐增大，在轧件出口处达到最大值；在轧件出口处，也即在前滑区内，受表面摩擦力的影响，表面金属的水平流动速度小于芯部金属。

    图4为部分道次轧件纵断面上的等效应变场等值线。图4反映了轧件的不均匀变形规律：在轧件入口附近，轧件的表面应变大于芯部应变；而在出口处，表面应变小于芯部应变；沿轧制方向，应变逐渐增大。图5给出了各道次的等效应变分布情况，结果表明，轧件表面的等效应变数值大于中心的数值。其主要原因是，轧件的表面金属除了产生沿轧制方向的拉伸变形外，还要产生较明显的剪切变形，因而使等效应变的数值增大。

    图6给出了各道次轧制力计算值与实测值的比较。可见，根据本文对于轧制变形区的假设以及求解所得到的轧制力与实测值能够较好的吻合。因此，本文的轧制变形区变形模式较符合实际情况。由于材料的流动应力是根据式(16)计算的，没有引入“自学习”过程，因此难以反映轧制过程中晶粒细化对流动应力的影响，产生了一些计算误差。目前，晶粒细化对流动应力的影响尚处于研究阶段。

5  结语

    根据实验结果假设出轧制变形区的变形模型，并利用能量原理确定该模型中的待定参数，使计算不再受轧制规程的限制。将该模型应用于综合解析数值模型，使其更加完善，并能更精确地确定热轧轧制力，从而更好地为实际生产服务。