摘要：带钢悬垂是带钢连续处理线中常见的情形，从数学和力学方面对带钢悬垂曲线函数和带钢张力进行分析，推导出了带钢悬垂曲线方程组，同时给出了使用该方程组的2个约束条件。在带钢连续处理机组设计时，可以参考使用。   

关键词：带钢；悬垂曲线方程组；约束条件

1  前言

    带钢悬垂是带钢处理线中常见的情形，对于同一种规格的带钢，不同的带钢张力对应不同的悬垂曲线。目前对悬垂曲线的形状尚没有实用的计算方法，而没有曲线则不能精确地反映带钢张力对支点处的作用力；而且，在带钢悬垂段布置与带钢高度有关的工艺设备时就难以精确定位。为此，研究了带钢张力与悬垂曲线的对应关系，并提出了设计计算方法，为带钢连续处理机组的优化设计和控制提供了依据。

2带钢悬垂曲线方程组

2．1悬垂曲线函数的建立

    为推导悬垂曲线函数，首先建立直角坐标系，如图1所示。悬垂左支点即带钢与转向辊的切点O为坐标原点(0，0)，实际上该切点的位置是随带钢曲线的变化而变化的，为了方便计算，取转向辊的最高点为坐标原点；悬垂右支点即带钢与转向辊的切点为Q(x₁，y₂)，同样，取右端转向辊的最高点为右支点坐标。设带钢的悬垂曲线函数为y=ax²+bx+c，未知的谷底为P点(x₁，y₁)，悬垂曲线函数表达式为：

2．2悬垂带钢长度

    对式(1)求导，并在[0，x₂]、[0，x₁]区间内进行积分，得到两支点间的带钢长度l及左支点到谷底P点的带钢长度l′：

2．3计算悬垂曲线谷底P点的坐标

    对式(1)求导，将悬垂曲线谷底P点的坐标值x₁和y₁代人，得：

2．4左右两支点的垂直支反力

2．4．1悬垂带钢的质量

  m=l·g·q，m₁= l′·g·q，m₂=m一m₁(6)式中，m为悬垂带钢的质量，kg；l为悬垂带钢长度，m；q为单位长度带钢质量，kg／m；m₁为左支点O到谷底P的带钢质量，kg；l′为左支点O到谷底P悬垂带钢长度，m；m₂为谷底P到支点Q的带钢质量，kg。

2．4．2带钢重心坐标的求解

    整个带钢的重力为mg，其作用点(即重心)为W(x₃，y₃)，如图2所示。设在带钢悬垂态下微段dx上的带钢质量为q′，q′与该微段dx处于悬垂曲线上的位置有关，其分布状况如图2所示。q′与单位长度带钢的质量q的关系为：

                                 q

q′=―――――――             (7)

    cos(arctan y′)

式中，q′为微段dx上的带钢质量，kg／m；q为单位长度的带钢质量，kg／m。

    因为各微段dx相对带钢重点的合面矩为零，所以有：

2．4．3左右支点的垂直支反力

    为了简化思路，设定带钢不产生抵抗弯矩，即带钢本身的抵抗弯矩为0，因此有：

    F_Oy·g·x₂=mg·g·(x₂一x₃)

    F_Qy·g·x₂=mg·x₃    (10)

    将式(9)代人式(10)有：

    F_Oy=m_l g，F_Qy=m₂g    (11)

    上述式中，F_Oy、F_Qy分别为带钢左、右支点的垂直支反力，N。

2．5  带钢张力

    当两端支点位置固定后，带钢两端张力和带钢单位质量决定着曲线形状，带钢两端张力的方向是沿带钢的切线方向，两端支点上的垂直支反力实质上是带钢张力在垂直方向上的分量。因此：

    F_O=F_Oy／y′_O    (12)

y′_O为带钢左支点切线的斜率，y′_O=dy/dx=b。

所以  Fo=F_Oy／b=m₁ g／b             (13)

同理  F_Q=m₂ggx₂／(2y₂一bx₂)     (14)

上述式中，F_O、F_Q分别为左、右支点处带钢的张力，N；b为带钢悬垂曲线函数中无因次量参数。

2．6左右支点同高的带钢悬垂曲线方程

    当左右支点高度一致，此时Q点坐标为(x₂，0)，将该坐标值代入以上各式，即可求出带钢悬垂曲线方程。

3  带钢悬垂模型使用的两个约束条件

    前面推导模型的基础是假设带钢不产生抵抗弯矩，而实际情况并非如此，任何一种带钢只要存在断面和材料强度，必然存在固有的抵抗弯矩。但是，对于两端等高且没有水平张力的带钢(简称自由带钢)，在带钢谷底处，当带钢自重产生的弯矩使带钢发生弹性变形，随着两支点距离的增大，悬垂带钢谷底处变形将越来越大。因此不难理解，带钢悬垂模型适用范围的约束条件应该是自由带钢发生的变形程度，反之，当带钢左右两支点距离小到一定范围时，带钢自重在带钢谷底处产生弯矩小于带钢抵抗弯矩，则此时带钢的受力情形就变成了梁的变形行为。

3．1  带钢的变形曲率极限

    纯弯曲时带钢的纵向纤维发生弯曲，如图3所示，根据带钢的几何变形方程得：

                   H

 ε_t=±—－

     2ρ

(15)

式中，ρ为在悬垂带钢谷底处带钢中性面的曲率半径，m；H为带钢厚度，m．ε_t为带钢表面的弹性应变值。

    根据虎克定律有ε_t=σ_t／E，代入式(15)得：

      1           2σ_t

  —=±------           (16)

   ρ     HE

式中，σ_t为弹性应力，MPa；E为材料的弹性模量，MPa。

    从数学可知悬垂带钢曲率几何方程，并且在谷底处y′=0，因此带钢几何曲率为：

  1                      y″

  ——=±——————                     (17)

  ρ_几何    (1+(y′)²)^3/2

  根据前面的分析，在悬垂带钢谷底处带钢自重产生的弯矩要大于带钢的抵抗弯矩，此处的几何曲率就必须大于力学曲率，因此将式(16)和式(17)联立得不等式：

             2σ_t

 y”≥——         (18)

              HE

  对式(1)进行2次求导，并代入式(18)，得：

       2(y₂－bx₂)                  2σ_t

  ————————≥——          (19)

       X₂                       HE

    对于自由带钢，y₂=y_O=0，整理后得：

                            σ_t

b≤－ -----                 (20)

                 HE

    设带钢表面的弹性变形应力σ_t和材料的屈服强度σ_s的比值为φ，因此有：

                                         φσ_s

b≤— ―――――   (21)

                      HE

  式(21)表明，在求解带钢悬垂曲线方程组时，b必须小于0。

3．2悬垂谷底的带钢极限弯矩

    带钢自重在带钢谷底产生最大弯矩，当此处带钢表面的弯曲应力超过材料屈服强度时，带钢自重产生的弯矩将大于带钢的抵抗弯矩，可得：

式中，L’为悬垂带钢最小跨度，m；H为带钢厚度；σ_s为带钢屈服强度，MPa。

    式(22)表明，在求解带钢悬垂曲线方程组时，x₂≥L′。

    综上所述，带钢悬垂曲线的求解如图4所示。

4  结论

    (1)建立了带钢悬垂曲线方程，确定了带钢张力与带钢悬垂曲线的关系。

    (2)给出了带钢悬垂曲线方程的2个约束条件，满足该约束条件，带钢悬垂曲线方程可用于工程设计。