摘要：在四辊轧机的轧制过程中，现有的辊缝解析模型不能直接应用于板凸度的在线控制。针对轧制过程中轧辊的弹性变形和轧辊与轧件间的相互作用，通过对四辊轧系变形和具体的受状况分析，从理论上推导了直观的辊缝开关函数，明确了它与相关因素的对应关系。为了验证模型的准确性，采用该模型对某“1+4”铝热连轧机的精轧末机架的出口板凸度进行了理论计算。与在线听测得数据进行比较，表明该模型计算结果精度高，误差在15%以内.
关键词：四辊轧机；弹性变形；数学模型
板带在轧辊辊缝中的轧制过程被认为是轧机的弹性变形和板带的塑性，变形过程，轧辊辊缝的形状就被认为是出17]板带截面的形状即板形。而在板形参数中最重要的是板凸度，它是衡量板带质量的主要因素之一。因此，保证板凸度的关键是明确出CI板带截面的数学模型。一直以来，对轧机出口板带截面的数学模型的研究主要体现在两个方面：一是以有限元模型作为依托仿真计算数十万的工况，在此基础上通过数据拟合提出了简化的公式化模型，此模型通过比较核算表明能提高运算速度，但是没有非常强有力的理论依据，不能反映轧制机理，当工况变化时调整困难而应用有限；二是通过研究轧辊的弹性变形。轧辊的弹性变形直接影响到最终产品的断面形状。同时，轧辊弹性变形的计算是进行辊型设计、板形控制、轧制工艺优化的基础。斯通、绍特、盐崎、本城等人做了大量的研究，在各种解析模型中，本城模型是1个比较完整的解析模型，解析结果与试验结果较为相符，但是其运算和表达式形式都相当复杂，这就给它的应用带来了很大的困难。本研究的目的是在紧密结合实际并进行合理假设、保证模型精度的前提下，建立能反映轧辊弹性变形实际规律的解析模型，给出轧后断面形状函数亦即轧后板形方程和各影响因素间的定性关系，从理论上推导出了与参考文献所给模型相似的板形方程，从而为在一定的工艺条件下板形的定量研究和板形控制提供必要的理论基础。
1 轧辊弹性变形模型的建立
1．1 基本假设
模型的建立基于以下假设：
(1)轧辊的弹性变形分为3个部分即工作辊和支撑辊之间的弹性压扁；轧辊的弯曲挠度；轧件和工作辊间的弹性压扁；
(2)工作辊与支撑辊之间的弹性压扁采用弹性基础梁假定；
(3)工作辊与支撑辊问的弹性压扁应力函数沿横向为一个二次分布函数，切向为均匀分布；
(4)工作辊与板带问的弹性压扁应力沿横向为一个二次分布函数，纵向为均匀分布。
1．2 工作辊与支撑辊间压力q(x)以及工作辊与板带间压力p(x)的确定
在考虑半辊系时，以轧辊中心为原点，指向右侧平行于辊轴线并指向右侧的方向为轴正向，结合基本假设的弹性压扁应力为二次分布函数可知：
式中：q(x)、p(x)分别是板宽方向上任意点的压力，kg／mm；gz、pz、分别是辊身中点压力，kg／mm；△q、△p分别是弹性压扁应力在中部与边部的差值，kg；Lb、b分别是支撑辊辊身长和板带宽，mm。
1．3 边部压力Pb的确定
若将所轧板材沿其宽度方向等分成很窄的微条，那么每一微条的宽度相对于变形区弧长的尺寸要小得多。同时，由于板边缘处仍是自由面，故根据最小阻力定律‘“，板边缘处的金属质点主要呈横向流动，于是半边缘处金属的变形可视为平面变形。因此，板边缘处的单位轧制压力可写为：
Pb=K۰l=1.15σsl
式中：K为平面变形抗力，Mpa;σ为板带材料的变形阻力，MPa，由实验可得；l为变形区弧长，mm。
1．4 中部压力Pz以及中部与边部压力差△P的确定
对下支撑辊和下工作辊整体列写力平衡方程：
就工作辊与板带的相互作用而言，在相关的假设条件下，由上(6)和(7)式可知：
(1)当σs、R、Δh、b确定时，辊中部与边部的压力差△P的值与轧制力P、弯辊力Fw成线性关系；
(2)当σs、R、Δh、b以及所讨论位置一旦确定时，辊面该处所受的压力大小p(x)与轧制力P、弯辊力Fw成线性关系。
2工作辊的轴线挠度
以下工作辊的一半为研究对象，考虑距轧辊中部ε处的挠度。
由于轧辊的受力相对于轧辊中部具有对称性，故取出轧辊的一半作为分离体，从而求出反映受力状态的挠度计算模型。
设工作辊与板带问的相互作用应力函数是p(x)，辊身中点处的单位平均压力Pz，辊身中点与边部的压力差为△P，工作辊与支撑辊间的相互作用应力函数是q(z)，辊身中点处的单位平均压力P。，工作辊受弯辊力是Fw，工作辊长度为Lw，弯辊力作用间距为L¨板宽6；则工作辊在声(z)、q(z)、Fw的共同作用下的受力(以下工作辊为研究对象)简图如图1。
根据莫尔定理和力的叠加原理，可求解出图1中距辊中部∈处的挠度表达式：
式中Ew．Gw为工作辊材料的弹性模量和剪切模量
Dw为工作辊辊身直径
Iw为工作辊辊身的截面惯性矩，Iw=πDW4/64
Aw为工作辊辊身的截面面积，Aw=πD2w/4
k为考虑剪力分布不均的系数，对于圆截面，可取k=10/9。
由上可知：系数αwp、βwf、φwp只与辊的材料、几何尺寸及所讨论位置有关，而与轧制力、弯辊力无关。
3支撑辊的轴线挠度
以下支撑辊的一半为研究对象，考虑距轧辊中部ε处的挠度
在轧制过程中，只有支撑辊与工作辊接触的部分才有相互作用，才能真正补偿轧制力引起的轧辊弹性变形。
图2中Mo为支撑辊支点处的摩擦阻力矩，通常很小，计算时一般认为等于零，为了完整性在图中标出。设支撑辊与工作辊的相互作用应力函数是q(z)，支撑辊辊身长L一，轧制力作用线间距为L，，则支撑辊在Mo、q(z)、P／2的共同作用下的其受力简图如图2。
同样可以根据莫尔定理和力的叠加原理求解出图2中距辊中部ε处的挠度表达式：
其中：
Eb、Gb为支撑辊材料的弹性模量和剪切模量
Db为支撑辊辊身直径
Ib为支撑辊辊身的截面惯性矩,Ib=πDb4/64
Ab为支撑辊辊身的截面面积，Aw=πDb2/4
由上可知：系数αbp、φbq。只与辊的材料、几何尺寸及所讨论位置有关，而与轧制力、弯辊力无关。
4 工作辊与支撑辊间弹性压扁量的确定
工作辊与支撑辊问的相互弹性压扁量，可近似的按两圆柱体相互接触挤压的公式计算，即：
5工作辊与板带间压扁的确定
设轧件与轧辊的接触区域为一矩形区域，则分布于此区域内的轧制力引起的辊缝出口处的压扁量△fylε可由参考文献[3]得：
E1、μ1，分别为工作辊的弹性模量和泊松比
l为接触弧长度
b为指板材宽度
6 轧辊辊身中部与边部压力差值△q与△p关系的确定
轧辊辊身中部与边部压力差值△q与△p与关系可由工作辊和支撑辊挠度的相互关系求得。而结合参考文献可表示出轧制时工作辊和支撑辊轴线挠度间的关系：
K1w、K2w、K3w分别为轧制力、弯辊力、辊的工作凸度对工作辊轴线挠度的影响系数，与机架的结构参数、被轧件上的测量位置以及被轧板料的宽度有关，K。。是机架的结构参数、被轧件上的测量位置以及被轧板料的宽度的函数；
K1b、K2b、K3b分别是轧制力、弯辊力、辊的工作凸度对支撑辊轴线挠度的影响系数，与机架的结构参数、被轧件上的测量位置以及被轧板料的宽度有关，K。e是机架的结构参数、被轧件上的测量位置以及被轧板料的宽度的函数；
由上(14)、(15)两式可知：作为影响辊缝形状的重要因数fw、fb的值均与轧制力P、弯辊力Fw以及辊的工作凸度△Dε成线性关系。
7辊缝形状和板形方程
由于在板带的轧制过程中，主要是考虑轧机的弹性变形和板材的塑性变形，因而，板材的出口截面形状与辊缝形状基本一致，而辊缝形状的曲线函数方程由辊的工作凸度、工作辊的轴线挠度及其工作辊与带材间的弹性压扁决定。
并结合式(12)、式(14)，可求出辊缝形状的函数Ø(ε)表达式：
令：Kp、KF、KWR分别为轧制力、弯辊力以及轧辊工作凸度对板凸度的影响系数。又从上面Kp、KF、KWR、Ko的表达式可知它们的值由轧机的几何尺寸和板带材的宽度决定，而与轧制力、弯辊力以及工作辊工作凸度无关，所以从(16)式可知：辊缝形状函数与轧制力、弯辊力以及工作辊工作凸度成线性关系。
而由参考文献[1]知，通过数据拟合提出了简化的公式化模型是：
比较式(16)和(17)可知，本文通过理论解析的方法得出的板凸度方程和以前通过数据拟合的简化公式是统一的，而本文通过理论解析的方法得到的式(16)较以前的模型更加明确了相关影响因素的具体含义。
8试验结果与模型计算结果的比较
为了验证上述模型的准确性，本文结合来自某“1+4”铝热连轧机的精轧末机架的实验数据进行计算，为了与试验测试位置一致，模型计算了位于距板边ε=40 mm处的板凸度，其计算至与试验测试值的对比见图3(a)是测量值与计算值的比较，(b)是计算凸度与实测凸度的相对误差)。从图3可知，模型的计算与实测值吻合，误差在15％以内。可见，采用本文的四辊轧机的辊缝形状函数模型可以计算出比较接近实际板凸度值。
9 结 论
对有载辊缝形状函数进行了详细的理论推导，所得表达式直观、明了，并结合具体实验数据进行了分析，得出以下结论：
(1)通过对四辊轧机轧辊弹性变形的分析，采用莫尔积分和叠加原理详细的从理论上推导出了轧机在轧制时轧制力、弯辊力以及轧辊的工作凸度与工作辊辊缝形状的线形关系；
(2)通过对所建立模型与以前通过数据拟合提出的简化模型进行比较，从理论上明确了轧制力、弯辊力以及轧辊的工作凸度各自对板形的影响因素和其物理含义；
(3)通过对所建立模型的计算结果与实验所测值进行比较发现两者吻合好，表明本文所推导模型具有较高的计算精度；
(4)所推导的板凸度方程表达的是板宽方向上任一点相对板带中点的厚差，从而为任一点板凸度的预报和分析提供了方便。
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