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连铸坯理想矫直曲线方程的数值解分析

景奉儒  李宪奎  张兴中    孟  江        郭维谨

           (燕山大学)         (中国地质大学)  (宣化钢铁公司)

摘 要 针对目前材料蠕变参数缺乏高温数据的情况，本文根据已有的实验数据对蠕变参数进行了外推，从而对铸坯的理想矫直微分方程进行了数值解析，从理论上阐明了固定辊连续矫直的辊列方案能够适应不同钢种、断面和拉速的浇铸。

1前言

近年来世界各国竞相研究和开发高效连铸技术，高效连铸的核心是高拉速。在高拉速条件下，为保证带液心铸坯矫直时两相区所产生的变形率和变形速率控制在允许值以内，因而以低速浇铸为背景的单点矫直及多点矫直技术已经难以满足生产需要，广泛采用能够适应高拉速要求的连续矫直技术已提到日程。   

康卡斯特(Concast)公司于1982年提出了连续矫直技术，其核心思想是依据浇铸工况的变化使矫直段浮动辊组自动对中^[1]，但是由于设备复杂，辊组惯性较大，浮动辊组难以实现浮动。另外考虑到多点矫直和奥钢联(Vöst)渐进矫直的固定辊列布置能够较好地适应不同钢种、断面及拉速的浇铸。为此本文拟从理想矫直曲线方程进行研究，以便从理论上对浮动辊组和固定辊列有一个正确的认识。

2理想矫直曲线

理想矫直曲线是基于材料高温蠕变规律而建立的高阶微分方程式。

由于弯曲和矫直的机理相同，为了叙述方便，以下的叙述不拘泥于弯曲和矫直。

2．1基本假设

根据钢的高温力学性能，在外力矩作用下铸坯不仅会产生瞬时弹性应变，还将产生随时间不断增大的蠕变应变。为了简化讨论，做出如下的基本假设^[2]：

1)高温铸坯的流变学模型采用麦克斯韦(Maxwell)体，即总应变ε为瞬时弹性应变ε_e与蠕变应变ε_c之和：

2．2几何方程

根据图1所示的铸坯弯曲原理，可得：

2．3物理方程

对于弹性应变，采用虎克(Hooke)定律有：

式中  E——铸坯弹性模量。

由于蠕变应变与应力、温度及时间之间的复杂关系，各国研究人员都只考虑了个别物理性质来建立蠕变应变的模型，因而具有一定的局限性。但是在蠕变第二区的稳定蠕变阶段，以下两组公式与实验数据最为一致^[4]：

式中，a、b、K、n均为与温度和材料有关的系数。

由于式(7)的双曲线正弦函数计算复杂，因而式(8)应用更为广泛。在第二蠕变区，诺顿(Norton)将式(8)简化为如下形式^[2]：

2．4静力平衡方程

由作用于截面的应力与力矩平衡关系可得：

式中  M——矫直力矩；

A——铸坯的横截面积。

2．5理想矫直曲线方程

根据几何方程、物理方程和静力平衡方程，推导出蠕变材料的理想矫直曲线方程：

式中  K——蠕变参数；

M——铸坯矫直力矩；

J——铸坯截面惯性矩；

V_c——拉坯速度。

考虑到曲线与起始点的水平线光滑连接，因此微分方程的初始条件为：

3蠕变参数的拟合分析   

理想矫直曲线方程式(11)是非线性非齐次高阶微分方程，很难用解析方法求解，因而本文采用数值法进行分析。

对于蠕变参数K，目前只有较低温度(400～800℃)下的实验数据，还没有铸坯两相区状态的数据可供参考，所以本文依据文献[4]中的蠕变参数进行了外推，使得矫直曲线的数值求解得以进行。

3．1曲线插值原理简述

设函数y=ƒ (x)区间[a，b]有定义，且已知点a≤x₀<…<x_n≤b上函数值y₀，…，y_n，若存在简单函数P(x)使得：

则称P(x)为ƒ (x)的插值函数，点x₀，…，x_n称为插值节点，一般常用的插值方法主要包括拉格朗日(Lagrange)法、埃米特(Hermite)法以及本节将使用的牛顿(Newton)法。

根据文献[6]的有关介绍，牛顿均差多项式N_n(x)为：

式中 ƒ（x₀，···，x_n）—n阶均差，有： 

3．2蠕变参数拟合

表1所示为不同含碳量在不同温度下的蠕变参数数据^[4]，可以观察出数据具有明显的规律性：随着温度升高，所有钢种的蠕变指数n减小，蠕变参数K增大。因此，采用插值函数外推铸坯两相区的蠕变参数，为数值解提供条件。

根据两组碳素钢的蠕变参数，分别按照式(15)计算各阶均差，结果见表2所示。

将各阶均差代入式(14)中，得到以下两组钢种的蠕变参数插值函数K_I(T)、K_Ⅱ(T)，分别为：

4 理想矫直曲线数值分析

4．1理想矫直方程的变换

对于常微分方程的数值解法，一般是采用龙格一库塔(Runge-Kutta)的经典四阶方法^[6]。但由于该方法的研究对象是一阶微分方程，所以需要将理想矫直的高阶微分方程进行变换，引入变量u=y＇，υ=y＂，将式(11)变换为一阶方程组：

式中，G_m为综合影响参数，C_m=KM／JV_c，与铸坯钢种、断面、拉速和温度有关。

4．2理想矫直曲线算例

以某钢厂板坯连铸机的辊列曲线为例，介绍理想矫直曲线的求解过程。

4．2．1设备及工艺参数

断面尺寸(_b×_h)：(1200～1600)mm×(180—250)mm；

浇注钢种：Q235、Q275；

拉坯速度：V_c=1．0～2．0m／min；

截面惯性矩：J=bh³／12=1．815×10^﹣3m⁴；

矫直力矩： 

4．2．2蠕变参数

设两相区温度为1400℃，代入各钢种对应的蠕变参数公式(16)、(17)，得到：

4．2．3理想矫直曲线

根据上述计算得到的参数，再代入综合影响系数表达式中求出碳素钢Ⅰ、Ⅱ对应的C_mⅠ、C_mⅡ，然后利用MathCAD软件，求解得到理想矫直曲线如图2所示。

这里将x=0～2m所对应的y坐标值列于表3。

从图2中可以看到，不同钢种所对应的矫直曲线是有一些差异的，但是在连续矫直段长度一般不超过2m的区间内，纵坐标最大差值仅为0．027mm(表3所示)，因此得出：钢种的变化对于理想矫直曲线的影响非常小，在工程中可以忽略。这一结论与文献[1]中“为确定铸坯琏续矫直区的实际通过线，测量了浮动辊组的竖向位置，在矫直不同宽度(820～1220mm)的铸坯和拉速(1．1—1．6m／min)时，没有测出辊子竖向位置发生明显变化”的实测结果是一致的。

5结论

1)本文关于不同钢种对理想矫直曲线影响很小的结论补充了文献[1]不同断面、拉速对理想矫直曲线影响甚小的测试结果，从而说明了固定辊连续矫直能够很好地适应任意工况。

2)本文也为“等应变速率固定辊连续矫直”提供了更充分的理论基础，使其成为目前最为理想的连续矫直技术。

参考文献

1   M．Wolf．现代连铸理论与实践．北京：中国金属学会连续铸钢学会．1986

2  连续铸钢译文集组．连续铸钢译文集．北京：冶金工业出版社．1984·

3  王启宏．材料流变学．北京：中国建筑工业出版社．1985

4   H．M．别辽耶夫( )著，王光远译．材料力学．北京：高等教育出版社．：1992：422～438

5  李宪奎，史寰兴，张德明．关于连续矫直(弯曲)的理论探讨．CCC’97发展中国家连铸会议论文集．  中国金属学会连铸分会．2000

6  李庆扬．数值分析．武汉：华中理工大学出版社．1986