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摘 要：在炼钢―连铸中，改进后的新工艺条件使得中间包寿命的评价方法由固定炉数变成了固定时间，针对这种变化，建立了相应的中间包优化模型。模型中考虑了炉次计划中的钢种、浇铸宽度、拉速等因素对浇铸时间的影响。采用启发式和DNA进化相结合的方法求解模型，先设计了3个启发式算法，然后在此基础上设计了基于DNA进化的优化方法，并给出了详细步骤。通过对企业实际生产数据进行仿真计算，其结果表明优化后的中间包利用率明显提高，从而验证了该方法的有效性。

关 键 词：炼钢—连铸；炉次计划；中间包计划；启发式算法；DNA进化算法

在钢铁生产中，炼钢、连铸是两个紧密衔接的前后工序，连铸机的前面是中间包(tundish)装置，它是连铸生产中的重要设备之一，是用来引导钢液进入连铸结晶器的高温冶金容器，其内衬用耐火材料制成^[1]。耐火材料有其固有的使用时限，使用到一定程度就得更换中间包，因此每个中间包都有使用寿命。以前基于工艺条件的限制，一个中间包的使用寿命是用最大浇铸炉数来衡量的，而在采用新技术工艺后，普碳钢的中间包使用寿命的衡量方法不再是最大浇铸炉数，而是最大浇铸时间。

在进行炼钢―连铸计划^[2]编制时，有关中间包的优化模型都是以最大浇铸炉数为基础进行建模，其中文献[3—6]都是以最大浇铸炉数作为中间包寿命的硬约束，文献[7]首次把中间包寿命作为优化目标来研究，但也是只从最大浇铸炉数上进行优化。

本文针对新技术工艺所带来的变化，建立了以最大浇铸时间为基础的中间包优化模型，并设计了相应的求解方法。

1  工艺的改进及其对中间包的影响

中间包的使用寿命一般采用以下方法评估：依靠人工经验粗略估算每个钢种的最大可浇炉数，作为中间包对该钢种的使用寿命。如根据以往的生产经验估算出某钢种最多可浇6炉，则该钢种的中间包寿命就为6炉，钢种不同其中间包寿命也不同。

为了进一步提高对中间包寿命的控制精度，某炼钢厂对中间包的相关工艺作了一系列的改进：1)提高耐火材料的质量；2)改进中间包水口快速更换装置；3)采用新型材质的中间包塞棒；4)改进座砖和上水口的间隙；5)改进浸入式水口渣线的位置；6)浸入式水口吹氩防止水口堵塞；7)冲击区增加稳流器等。随着这些新技术工艺的应用，目前该炼钢厂在浇铸普碳钢时，中间包使用寿命的控制精度不再是人工粗略估算的最大浇铸炉数，而是最大浇铸时间，它是一个固定的值，其精度为分钟。

新技术工艺使得中间包寿命的考量由固定炉数变成了固定时间，这给连铸计划组中间包带来了很大的影响。新工艺条件下，每个中间包的使用寿命都是一个固定的时间值，是中间包的工艺属性，与钢种无关。如此一来，对某个具体钢种而言，中间包的最大浇铸炉数将不再是固定的，而是要受钢种、板坯浇铸宽度、拉速等因素的影响。

针对上述情况，本文考虑炉次计划中的钢种、浇铸宽度、拉速等因素对浇铸时间的影响，以及连铸的工艺约束，建立了基于最大浇铸时间的新工艺条件下的中间包优化模型。

2  新工艺条件下的中间包优化模型

2.1  问题描述

一批炉次计划，总共n炉，第i炉的出钢记号为S_i，连浇码为C_i，炉重为G_i，可选浇铸宽度范围为[W_i^min，W_i^max]。出钢记号即钢种；连浇码表示不同的钢种之间是否可以连浇，当不同钢种拥有相同的连浇码时，表明它们之间可以连浇；可选浇铸宽度范围是炉内所有板坯宽度范围的交集，若交集为空，说明需要炉内调宽，但实际生产中，炉内调宽极少，而且炉内调宽可改为炉间调宽，因此本文假设炼钢组炉时不允许炉内调宽，即每个炉次内的板坯至少有1个共同的浇铸宽度，这样它们的交集就不会为空；炉重表示炉内所有板坯的重量之和。

根据连浇码、宽度跳跃及调宽限制、中间包寿命等约束对以上n个炉次排中间包计划，使得中间包的平均利用率尽量高。

2.2  参数计算

在建模之前，先推导几个参数计算公式。

1)浇铸时间的计算。

对于炉次i，因出钢记号S_i、炉重G_i已知，因此浇铸时间只与所选浇铸宽度有关。设该炉次所选宽度为y_i，由钢种、宽度等关键字所确定的拉速表中查得S_i、y_i所对应的拉速v_{i, yi}，则其炉内所有板坯全部浇铸完毕所花时间的计算方法为：

式中：ρ为钢水密度，H为板坯厚度，都是常量。

2)中间包利用率的计算。

每个中间包的利用率不再是中间包内的实际炉数与最大浇铸炉数之比，而是中间包内的所有炉次的全部浇铸时间与最大浇铸时间之比，即：

此计算公式在后面的数学模型中会根据决策变量进行具体化描述。

2.3  数学建模

1)决策变量。

①中包数。

设z为最后组成的中包个数，其定义域为[1，n]。

②炉次指派。

定义0―1变量：

③炉次所选宽度。

设y_i为炉次i选取的浇铸宽度，其定义域为[W_i^min，W_i^max]。

④辅助变量1。

设I_j为第j个中间包所含炉次的下标集合，即I_j={i|x_ij=1，  i∈[1，n]}，  j∈[1，z]

且I_j中所有元素已按炉次宽度从大到小排序，即满足：yI^k_j≥yI^k+1_j，k∈[1，︳I_j︳－1]。

⑤辅助变量2。

设γ_jk表示I，中相邻炉次是否调宽，即：

2)优化模型。

基于上述参数与变量，其数学模型如下：

式(3)表示中间包平均利用率尽量高的目标，其中 是对式(2)的具体化描述，代表第j个中间包的利用率，这里T_max表示中间包最长浇铸时间；式(4)表示一个炉次最多只能被分配给1个中间包，且必须被分配1个中间包；式(5)表示每个中间包内所有炉次总的浇铸时间不能超过中间包的最长浇铸时间T_max；式(6)表示同一个中间包内的炉次要有相同的连浇码；式(7)表示中间包内的炉次按浇铸宽度从宽到窄排定顺序后，其宽度跳跃必须符合调宽工艺要求，即最大W_leap，最小0(不跳跃)；式(8)表示中间包内的调宽次数不得超过A_max。

上述模型不仅含有多元多次函数，还含有下标变量和排序变量，是复杂的非线性模型。

3  基于DNA进化的优化方法

3.1  算法介绍

DNA进化算法^[8]是对单亲生物自然进化过程和行为的一种机器模拟，它引入一个模拟单亲细胞繁殖和分化的算子一分裂算子。分裂能繁衍生成具有等价关系意义下的“同类”个体，不“同类”个体间的演化只能由变异操作来实现。算法中每个个体进行“分裂、选择、变异、选择”的迭代搜索过程，分裂和选择合成水平进化，变异和选择合成垂直进化，二者交互进行，推动个体向最优点的演化。算法停止准则为最大进化代数N_max。

分裂算子的操作有4种，如下所示。

1)恒等变换：染色体序列保持不变。

2)反演变换：染色体序列倒置。

3)同互补变换：将n加1后减去恒等变换后的染色体。

4)异互补变换：将n加1后减去反演变换后的染色体。

每个个体经分裂后会产生4个子代，可从中选择要进行变异的个体。

3.2  算法设计

1)编码。

设n个炉次的编号依次为1，2，…，n。采用自然数编码规则，对它们进行顺序编码。它们的任一排列表示一个浇铸顺序，即染色体r=(x₁，x₂，…，x_n)，其中x_i∈[1，n]，且x_i≠x_j，" i，j∈[1，n]。

2)启发式算法一：产生初始解。

使用启发式规则产生一些高质量的初始解，步骤如下：

①对这n个炉次按连浇码C_i、最大可浇宽度W_i^max、最小可浇宽度W_i^min、出钢记号S_i这4个关键字联合排序(排序方式为降序)，所得排列即为一个初始解，记为r₀；

②令循环变量k=0；

③随机产生区间[1，n]之间的两个整数m₁和m₂，交换染色体r_k中的第m₁和m₂位，得到新染色体r_k+1；

④执行k=k+1，重复第③步，直到染色体数量达到种群规模P。

3)启发式算法二：划分中间包。

给定一个编码序列(比如染色体r_k)，其划分中间包的过程如下：

①参数初始化，中间包的个数z=0，循环变量i=1；

②新建一个中间包，z=z+1，将r_k中的第i位所代表的炉次计入该中间包，并记录它的连浇码C_z、浇铸宽度范围[W_z^min，W_z^max]；

③令i=i+1，若i>n，则结束，输出组中包结果，否则继续④；

④扫描“中第i位所代表的炉次，判断C_i=C_z(即约束式(6))是否成立，不成立转②，否则继续⑤；

⑤比较[W_i^min，W_i^max]与[W_z^min，W_z^max]，若无交集，表明需要调宽，判断0≤W_z^min－W_i^max ≤W_leap。(即约束式(7))是否成立，若不成立转②，否则继续⑥；

⑥将[W_i^min，W_i^max]和中间包内所有炉次的浇铸宽度范围放在一起，使用启发式算法三搜索它们的最佳宽度组合集Γ_w，找到它们需要的最少调宽次数A_z，判断是否A_z≤A_max(即约束式(8))是否成立，若不成立转②，否则继续⑦；

⑦对n降序排列，给中间包内所有炉次和第i位所代表的炉次逐个套用，确定每炉的浇铸宽度，查拉速表，计算每炉的浇铸时间，统计中间包的总浇铸时间T_z，判断是否T_z≤T_max。(即约束式(5))是否成立，若不成立转②，否则继续⑧；

⑧所有约束条件都满足，将第i炉计入中间包z，更新C_z和[W_z^min，W_z^max]，转③。

4)启发式算法三：搜索最佳宽度集。

启发式算法二中用来搜索第i炉和中间包内已有炉次(假设为m炉)的最佳宽度组合的算法如下：

①将第i炉放在m炉后，组成一个(m+1)的数组队列，设W^max= W₁^min (第1炉的最小宽度)，W^min= W_m+1^max，(第(m+1)炉的最大宽度)，令循环变量j=1，计数器count=0，宽度集Γ_w=Ф；

②扫描第j炉的浇铸宽度范围[W_j^min，W_j^max]，与[W^min，W^max]取交集，若为空，则Count++，否则Count不变，将max{W^min－W_leap，W^min_j}计入Γ_w；

③令W^min=max{W^min－W_leap，W^min_j}，W^max=min{ W^max，W_j^max)，然后更新[W^min，W^max]；

④执行j=j+1，如果j<m+1，转②，否则转⑤；

⑤输出最少调宽次数Count以及宽度集Γ_w。

5)适应度函数计算。

中间包划分完毕后，对每个中间包的宽度集Γ_w进行微调，重新确定中间包内每个炉次最佳浇铸宽度，以尽量提高中间包利用率。计算每个中间包的利用率ζ_j，统计出平均利用率 。

适应度函数设计如下：

式中：u，v为加权系数，u +v=1。这里除了平均利用率目标外(式中第2项)，还加入了中间包个数的目标项(式中第1项)，用来放大所含中间包个数不同的染色体之间的优劣，以加速收敛。所以实际设置时可使u的值更大些，即u >v。

6)变异操作。

因为DNA进化算法中不“同类”个体间的演化只能由变异操作来实现，所以采用强制性变异，变异方法为：

①产生[1，n]之间的两个随机数h₁和h₂；

②将染色体中的第h₁位取出插入到h₂位置。

3.3  算法步骤

1)设置最大进化代数N_max、种群规模P；

2)使用启发式算法一产生初始种群；

3)初始化全局最优个体r_best，令循环变量N=1，k=1；

4)对种群中的第k条染色体r_k进行分裂操作，产生4个子代，调用启发式算法二和三来划分中间包，然后计算它们的适应度，选出最优个体r´_k，并与r´_best比较，如果更优则更新r_best；

5)对r´_k进行变异操作，计算其适应度，与r_best比较，如果更优则更新r_best，变异后的个体进入备选种群中；

6)若k<P，则k=k+1，转4)，否则继续7)；

7)从备选种群中选取一部分(本文取80％)优良个体进入下一代种群，剩余部分随机产生补充；

8)若N<N_max，则N=N+1，重置k=1，转4)，否则进化结束，输出最优解。

4  仿真计算与分析

从该炼钢厂得到2组炼钢炉次数据，分别为40炉和35炉，对其排中间包计划，炉次信息见表1，拉速见表2。其他工艺参数如下：中间包最长浇铸时间T_max=500min，连铸机调宽时最大宽度跳跃W_leap=100mm，每个中包内的最大调宽次数A_max=5。

使用上述方法分别对2组数据进行求解。算法参数设置如下：种群大小P=30，最大进化代数N_max=1 000，系数u=0.9，v=0.1。计算结果见表3。为了对比，表中加入了启发式和人工结果。启发式结果是指启发式算法一中的初始解r₀所对应的中间包划分结果。

从表3可看出：1)3种方法中启发式结果最差。对于第1组数据来说，中间包个数多了一个，第2组数据中间包个数多了2个，这样直接导致中间包平均利用率明显被拉低。究其原因，主要是由于每个炉次的浇铸宽度范围不一样。有些炉次的宽度区间覆盖了其他炉次。比如第1组数据中的第3炉和第1炉，它们属于同一个连浇码族。按照启发式算法一中的排序规则，第3炉排在第1炉的前面，导致后面的宽度接续能力差而有可能宽度跳跃不过来无法在一个中间包内连浇。同理，第2组数据中的第1炉和第2炉也类似。第2炉排在第1炉之后，而第2炉只能用1250宽度，因此中间包个数明显增多。2)本文方法要优于人工方法。第1组数据中2个方法所求得的中间包个数一样，但前者的中间包利用率更高。第2组数据中前者少了1个中间包，其原因是算法在重新确定每个炉次的宽度时，选择了更能提高中间包利用率的宽度。比如说某个中间包只有1炉，重新微调宽度使其浇铸时间减少，正好可以加入另外1个中间包使得它接近满包，这样2个中间包就并成了1个中间包，中间包个数就减少了1个，中间包平均利用率会显著提高。第2组数据就属于这样的情况。当然，微调宽度可能会使调宽次数增加，但仍然要满足中间包最大调宽次数要求。3)第2组数据的调宽次数比第1组多，说明第2组数据的宽度接续能力更差。

5  结论

1)考虑钢种、浇铸宽度、拉速对浇铸时间的影响，建立了新工艺条件下以最大浇铸时间为基础的中间包优化模型。

2)针对该模型的复杂、非线性特点，采用结合启发式和DNA进化的混合优化方法。设计了3个启发式算法，在此基础上设计了基于DNA进化的优化方法。

3)通过实际生产数据的计算验证，表明该方法优于人工计划，有望在工业生产中进行应用。

参 考 文 献：

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[5]  宁树实，王伟，潘学军.一种炼钢―连铸生产计划一体化编制方法[J].控制理论与应用，2007，24(3)：374.

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